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\title{
Partiel de mathématiques discrètes, semestre 1, juin 2009.\\
Durée : 3 heures.} 
\date{}
\geometry{hmargin=1.5cm, vmargin= 1.5cm}
\author{\sc{Couchot}, J.-F.}
\begin{document}
\maketitle



Les supports  de TDs et de TP sont autorisés; téléphones et calculatrices sont
interdits.

Q. 1. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 2. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 3. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 4. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 5. $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow $ \og $x$ et $y$ ont le même reste dans une division par 2 \fg{} est une relation d'équivalence sur les entiers strictement positifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 6. $|$ (divisibilité) est une relation d'ordre totale dans $\mathds{N}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 7. $(\mathds{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 8. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 9. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.

L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 10. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 11. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique quand tout élément est en relation avec lui-même.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 12. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 13. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 14. $|$ est une relation d'ordre dans $\mathds{Z}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 15. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 16. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'ordre sur l'ensemble des réels.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 17. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle majorant de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 18. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 19. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 20. Un ordre sur $E$ est dit partiel si, lorsque l'on choisit deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans $E$, alors $x$ est en relation avec $y$, ou $y$ est en relation avec $x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse?

Q. 21. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 22. Un ordre est dit total sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 23. Une application est une relation binaire particulière.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 24. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe une borne supérieure pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 25. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 26. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné. Il peut exister des parties de $E$ qui sont non majorées.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 27. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 28. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $\sin(x) = \sin(y)$ \fg{} est une relation d'equivalence sur l'ensemble des réels. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 29. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 30. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} x \Longrightarrow x = y$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 31. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 32. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 33. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $E$ possède exactement une image dans $F$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 34. $\leqslant$ est une relation d'ordre total dans $\mathds{R}$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 35. Les relations d'ordre sont les relations réflexive, antisymétrique et transitive.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 36. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall (x,y) \in E^2, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,x) \in G \Longrightarrow x = y$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 37. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 38. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 39. Une partie $A$ de $E$ est dite majorée s'il existe un minorant pour $A$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 40. 
Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
$g:B \rightarrow C$ et
$h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant

\begin{center}
\pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
\scalebox{1}{
\cnodeput*(0,4){a}{a}
\cnodeput*(0,3){b}{b}
\cnodeput*(0,2){c}{c}
\cnodeput*(2,4){1}{1}
\cnodeput*(2,3){2}{2}
\cnodeput*(2,2){3}{3}
\cnodeput*(4,4){x}{x}
\cnodeput*(4,3){y}{y}
\cnodeput*(4,2){z}{z}
\cnodeput*(4,1){w}{w}
\cnodeput*(6,4){4}{4}
\cnodeput*(6,3){5}{5}
\cnodeput*(6,2){6}{6}

\rput(-0.2,5.2){$A$}
\rput(1.8,5.2){$B$}
\rput(3.8,5.2){$C$}
\rput(5.8,5.2){$D$}

\rput(1,0.5){$f$}
\rput(3,0.5){$g$}
\rput(5,0.5){$h$}


\psellipse(0,3)(0.5,2)
\psellipse(2,3)(0.5,2)
\psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
\psellipse(6,3)(0.5,2)

\ncline{->}{a}{2}
\ncline{->}{b}{1}
\ncline{->}{c}{2}
\ncline{->}{2}{x}
\ncline{->}{1}{y}
\ncline{->}{3}{w}
\ncline{->}{x}{4}
\ncline{->}{z}{4}
\ncline{->}{y}{6}
\ncline{->}{w}{5}
   }
 \endpspicture
\end{center}

$h \circ g$ est-elle surjective?

Q. 41. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 42. $(\mathcal{P}(E),\subset)$ est un ensemble ordonné.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 43. $(\mathds{Z},|)$ est un ensemble ordonné.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 44. Soit $R$ la relation dans $A=\{1,2,3,4\}$ définie par
$R=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$.
A-t-on  $R\circ
R = \{(1,3)\times(1,3), (1,3)\times(1,4),(1,3)\times(3,2),
\ldots,(3,3)\times(3,4),(3,4)\times(3,4)\}$?
 

Q. 45. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
dans le diagramme cartésien:
\begin{center}
\psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
\begin{pspicture}(0,0)(6,6)
%\psgrid
\psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
\savedata{\mydata}[
{{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
\listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
\end{pspicture}
\end{center}

Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il
$\{1,2,4,5\}$?
 

Q. 46. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 47. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $$\forall (x,y) \in E^2, x \mathcal{R} y \Longrightarrow y \mathcal{R} x$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 48. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 49. Soit $(E,\mathcal{R})$ un ensemble ordonné, et $A$ une partie de $E$. On appelle minimum de $A$ tout élément $x$ de $E$ tel que, quel que soit $a \in A, a \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 50. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$$L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 51. Une partie $A$ peut être non majorée, mais admettre quand même un élément maximum.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 52. Un ordre est dit partiel sur $E$ si tous les éléments de $E$ sont comparables entre eux.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 53. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 54. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au plus une image. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 55. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 56. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 57. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 58. 
Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
$:g:B \rightarrow C$ et
$h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivant

\begin{center}
\pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
\scalebox{1}{
\cnodeput*(0,4){a}{a}
\cnodeput*(0,3){b}{b}
\cnodeput*(0,2){c}{c}
\cnodeput*(2,4){1}{1}
\cnodeput*(2,3){2}{2}
\cnodeput*(2,2){3}{3}
\cnodeput*(4,4){x}{x}
\cnodeput*(4,3){y}{y}
\cnodeput*(4,2){z}{z}
\cnodeput*(4,1){w}{w}
\cnodeput*(6,4){4}{4}
\cnodeput*(6,3){5}{5}
\cnodeput*(6,2){6}{6}

\rput(-0.2,5.2){$A$}
\rput(1.8,5.2){$B$}
\rput(3.8,5.2){$C$}
\rput(5.8,5.2){$D$}

\rput(1,0.5){$f$}
\rput(3,0.5){$g$}
\rput(5,0.5){$h$}


\psellipse(0,3)(0.5,2)
\psellipse(2,3)(0.5,2)
\psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
\psellipse(6,3)(0.5,2)

\ncline{->}{a}{2}
\ncline{->}{b}{1}
\ncline{->}{c}{2}
\ncline{->}{2}{x}
\ncline{->}{1}{y}
\ncline{->}{3}{w}
\ncline{->}{x}{4}
\ncline{->}{z}{4}
\ncline{->}{y}{6}
\ncline{->}{w}{5}
   }
 \endpspicture
\end{center}

On ne peut pas déduire du schéma des propriétés de $h \circ h$.

Q. 59. 
Dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$, on considère l'expression 
$E=\overline{a}(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$. La version la plus réduite de $E$ est $\overline{a}bcde$.
 L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 60. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
dans le diagramme cartésien:
\begin{center}
\psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
\begin{pspicture}(0,0)(6,6)
%\psgrid
\psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
\savedata{\mydata}[
{{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
\listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
\end{pspicture}
\end{center}

Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il $\{1,2,3,4,5\}$?
 

Q. 61. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 62. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive quand tout élément est en relation avec lui-même.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 63. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 64. $|$ (relation de divisibilité) est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{N}$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 65. L'égalité de deux entiers est une relation d'équivalence.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 66. Les relations d'equivalence sont les relations réflexive, symétrique et transitive.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 67. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive quand tout élément est en relation avec lui-même. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 68. 
Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
$W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :

\begin{center}
\pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
\scalebox{1}{
\cnodeput*(0,6){1}{1}
\cnodeput*(3,6){2}{2}
\cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
\cnodeput*(0,3){4}{4}
\cnodeput*(3,3){5}{5}
\cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
\cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
\cnodeput*(3,0){8}{8}


\psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)

\ncline{->}{8}{6}   
\ncline{->}{8}{7}      
\ncline{->}{6}{4}   
\ncline{->}{6}{5}      
\ncline{->}{7}{5}   
\ncline{->}{4}{3}      
\ncline{->}{5}{3}   
\ncline{->}{3}{1}      
\ncline{->}{3}{2}   


   }
 \endpspicture


\end{center}

\{1,2,3\} est l'ensemble des majorants de $V$ . Vrai ou Faux?  

Q. 69. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 70. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 71. $\leqslant$ est une relation d'ordre partiel dans $\mathds{R}$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 72. 
Soit $t_1$ et $t_2$ deux termes exprimés dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, .et $\overline{~}$.
Si $t_1 +  t_2 = 1$ alors $t_1$ = 1  et $t_2$ a une valeur quelconque, et vice versa.
 L'assertion proposée est vraie ou fausse?
 

Q. 73. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 74. On appelle élément maximum de $A$ un élément de $A$ qui est majorant de $A$.
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 75. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 76. Une application bijective est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 77. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$).
L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 78. Soit une relation d'ordre sur $E$, de graphe $G$. Cette relation d'ordre est dite totale si $\forall x,y \in E, (x,y)\in G$ ou $(y,x) \in G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse? 

Q. 79. 
Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
$W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :

\begin{center}
\pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
\scalebox{1}{
\cnodeput*(0,6){1}{1}
\cnodeput*(3,6){2}{2}
\cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
\cnodeput*(0,3){4}{4}
\cnodeput*(3,3){5}{5}
\cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
\cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
\cnodeput*(3,0){8}{8}


\psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)

\ncline{->}{8}{6}   
\ncline{->}{8}{7}      
\ncline{->}{6}{4}   
\ncline{->}{6}{5}      
\ncline{->}{7}{5}   
\ncline{->}{4}{3}      
\ncline{->}{5}{3}   
\ncline{->}{3}{1}      
\ncline{->}{3}{2}   


   }
 \endpspicture


\end{center}

Les éléments 6 et 8 sont les minorants de $V$ . Vrai ou Faux?  

Q. 80. 
Soit $W=\{1,2,3,\ldots,7,8\}$ et un sous-ensemble $V=\{4,5,6\}$ de $W$. 
$W$ est ordonné comme ci-dessous où $X \rightarrow Y$ si $X$ est inférieur à $Y$ :

\begin{center}
\pspicture*(-0.5,-0.5)(5,7)
\scalebox{1}{
\cnodeput*(0,6){1}{1}
\cnodeput*(3,6){2}{2}
\cnodeput*(1.5,4.5){3}{3}
\cnodeput*(0,3){4}{4}
\cnodeput*(3,3){5}{5}
\cnodeput*(1.5,1.5){6}{6}
\cnodeput*(4.5,1.5){7}{7}
\cnodeput*(3,0){8}{8}


\psellipse(1.5,2.5)(2,1.5)

\ncline{->}{8}{6}   
\ncline{->}{8}{7}      
\ncline{->}{6}{4}   
\ncline{->}{6}{5}      
\ncline{->}{7}{5}   
\ncline{->}{4}{3}      
\ncline{->}{5}{3}   
\ncline{->}{3}{1}      
\ncline{->}{3}{2}   


   }
 \endpspicture


\end{center}

L'élément 8 est le seul minorant de $V$ . Vrai ou Faux?  

\end{document}